חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2 יהיו T,T חלוקות של הקטע [,], אם T הינה העדנה של T אזי.S(f, T ) S(f, T ) וכן S(f, T ) S(f, T ) טענה.3 יהיו T T, חלוקות כלשהן של הקטע ] [, אזי ) T.S(f, T ) S(f, [,] (f) := sup x,y [,] התנודה של f בקטע [,] מוגדרת על ידי f(x) f(y) = sup f inf f [,] [,] T = {t k : k n} = { = t < t <... < t n < t n = } קוטר החלוקה } T = { = t < t <.. < t n = מוגדר על ידי: λ(t ) := mx{t k+ t k : k < n} החלוקה } T = { = t <... < t n = מעדנת את החלוקה T אם מתקיים כי k= {t k } n k= {t k }n (נסמן T (T בהינתן שתי חלוקות T ו T ההעדנה המשותפת שלהן הינה חלוקה חדשה המוגדרת על ידי: טענה.4 אם T מעדנת את T על ידי הוספת p נקודות חלוקה אזי T T = {t k : k n} {t k : k n} S(f, T ) S(f, T ) + pλ(t ) [,] (f) S(f, T ) S(f, T ) pλ(t ) [,] (f) אינטגרל עליון ותחתון של פונקציה חסומה f :,] [ R מוגדרים על ידי: f := inf T { S(f, T )} f := sup{s(f, T )} T משפט.5 (משפט דרבו) אם f(x) היא פונקציה חסומה בקטע [,] אזי f = lim λ S(f, T ) f = lim λ S(f, T ) או בניסוח אחר, לכל > ε קיים > δ כך שלכל חלוקה T שעבורה λ(t ) < δ מתקיים S(f, T ) f < ε (ובאותו אופן עבור הגבול השני). תנאים לקיומו של האינטגרל המסוים משפט.6 אם f : [, ] R פונקציה אינטגרבילית בקטע ] [, אזי f חסומה בקטע. משפט.7 עבור פונקציה חסומה f :,] [ R אם מתקיים שוויון בין. f = f = האינטגרל העליון לתחתון, אזי f אינטגרבילית וכן f מסקנה.8 בכדי שפונקציה f תהיה אינטגרבילית בקטע [,] מספיק שהיא תהיה חסומה ותקיים את התנאי הבא: לכל > ε קיימות שתי חלוקות T, T 2 (ייתכן (T = T 2 כך שעבורן מתקיים S(T ) S(T 2 ) < ε סכומי רימן תהי f : [, ] R ותהי } T = { = s < s <... < s n < s n = חלוקה של הקטע [,], סכום רימן של f בקטע [,] הינו σ = f(x i )(s i s i ) נשים לב שהסכום תלוי בחלוקה T וכן בבחירת.x i כאשר ] i [s i, s הנקודות.x i הגדרה. תהי, f : [, ] R נאמר ש f אינטגריבלית רימן על ] [, T כך שלכל חלוקה δ קיים > ε כך שלכל > I אם קיים (f R([, ])) המקיימת λ(t ) < δ ולכל בחירה של נקודות מתאימות לחלוקה מתקיים σ I < ε במידה והגבול הנ"ל אכן קיים הוא יקרא האינטגרל המסוים של f(x) בקטע [,] ויסומן, f(x)dx לכן נוכל לרשום: lim λ(t ) f(x i ) s i = f(x)dx כאשר i s i ) s i = s i s נקודות חלוקה). סכומי דרבו בהינתן f : [, ] R חסומה, וחלוקה < n T = { = t < t <.. < t T) ביחס ל f אזי סכום דרבו עליון (של t n = { n S(f, T ) := (t k+ t k ) sup k= [t k,t k+ ] f

משפט.7 (רציפות האינטגרל ( תהי f(x) : [, ] R פונקציה אינטגרבילית,.[, ] הינה פונקציה רציפה ליפשיץ בקטע F (x) := x אזי הפונקציה f(t) dt משפט.8 (גזירות האינטגרל ( תהי f(x) : [, ] R פונקציה אינטגרבילית, F (x) := x גזירה בכל נקודה x בקטע שבה f רציפה הפונקציה f(t) dt ומתקיים F (x) = f(x) משפט.9 (המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי) תהי f(x) פונקציה אינטגרבילית בקטע [,] ותהי (x) F פונקציה רציפה בקטע [,], גזירה בפנים הקטע (פרט אולי למספר סופי של נקודות) ומקיימת f(x) F (x) = לכל x בקטע (פרט אולי למספר סופי של נקודות). אזי f(t) dt = F () F () משפט.9 (תנאי רימן לאינטגרביליות) תהי f :,] [ R פונקציה חסומה ו { T = { = x < x <.. < x n < x n = חלוקה, נסמן (f, T ) := i x i כאשר i x i = x i x ו i התנודה של f בקטע ] i.[x i, x אזי f אינטגרבילית רימן אם ורק אם lim (f, T ) = λ(t ) משפט. תהי f פונקציה חסומה בקטע [,] ו T חלוקה של הקטע. יהי > ε נסמן: G ε = {i : i < ε} E ε = {i : i > ε} התכונות היסודיות של פונקציות אינטגרביליות ושל האינטגרל המסוים משפט.2 יהיו,f g פונקציות אינטגרביליות בקטע [,] אזי:. cf = c אם c R אזי cf(x) אינטגרבילית ומתקיים f הפונקציות g(x) f(x) ± אינטגרביליות ומתקיים = g(x) f(x) ±. f(x) ± g(x) הפונקציה f(x)g(x) אינטגרבילית בקטע. אם קיים קבוע > c כך ש c g(x) לכל ] x [, אזי הפונקציה אינטגרבילית בקטע. g(x) הפונקציה f(x) אינטגרבילית בקטע וכן מתקיים dx f(x) (ההפך לא בהכרח נכון). f(x) dx. f אם g(x) f(x) בקטע אזי g משפט.2 (ערך הביניים האינטגרלי) תהי f(x) פונקציה רציפה בקטע [,] ותהי g(x) פונקציה אינטגרבילית בקטע השומרת על סימן קבוע שם. אזי קיימת נקודה [ c,] כך שמתקיים השוויון: f(x)g(x) = f(c) g(x) שיטות אינטגרציה מסוימות החלפת משתנים תהי f : [, ] R אינטגרבילית ו ] φ : [α, β] [, מונוטונית עולה וגזירה ברציפות, וכן φ(α) = ו.φ(β) = אזי הפונקציה g := f φ(t) φ (t) : [α, β] R אינטגרבילית וכן: ˆ β α f(φ(t)) φ (t) dt = f(t) dt במידה ו f רציפה אזי אין צורך לדרוש ש φ(t) תהיה מונוטונית עולה, מספיק שתקיים את התנאים שצוינו לעיל למעט המונוטוניות וכן שמתקיים.t [α, β] לכל φ(t) אינטגרציה בחלקים נניח כי,f g :,] [ R חסומות, כאשר g ו f גזירות וכן,g f אינטגרביליות, אזי מתקיים: f (x)g(x) dx = [f()g() f()g()] f(t)g (t) dt כאשר i התנודה של f בקטע ] i [x i, x בחלוקה.T משפט. אזי f אינטגרבילית רימן אם ורק אם לכל > ε קיימת חלוקה T כך ש i E ε x i < ε.(x i T, x i = x i x i ) משפחות של פונקציות אינטגרביליות משפט.2 תהי f, :,] [ R אם f מקיימת את אחת מהדרישות הבאות אזי היא אינטגרבילית בקטע..[, רציפה ב [ f ל f מספר סופי של נקודות אי רציפות בקטע. f מונוטונית בקטע. משפט.3 (משפט לבג) תנאי הכרחי ומספיק לכך שפונקציה חסומה f תהיה אינטגרבילית בקטע [,] הוא שקבוצת נקודות אי הרציפות שלה תהיה בעלת מידה אפס. (קבוצת נקודות על הישר הינה בעלת מידה אפס אם לכל > ε קיימת קבוצת קטעים המכסה את הקבוצה, כך שסכום ארכי הקטעים קטן מ ε ). משפט.4 אם f(x) היא פונקציה אינטגרבילית בקטע ] [, ו ( f(x f (x) = לכל x בקטע פרט למספר סופי של נקודות, אזי גם (x) f אינטגרבילית בקטע ומתקיים 2 f (x) dx = כלומר, שינוי פונקציה במספר סופי של נקודות אינו משפיע על ערך האינטגרל. משפטים יסודיים של החשבון האינטגרלי משפט.5 אם f(x) אינטגרבילית בקטע [,] אזי היא אינטגרבילית בכל קטע [β,α] החלקי לו. משפט.6 (אדיטיביות של אינטגרל) יהיו, < c < אם f(x) אינטגרבילית בקטעים [c,] ו [,c] אזי היא אינטגרבילית בקטע [,] ומתקיים = ˆ c + c

קריטריונים להתכנסות משפט 2.4 (קריטריון קושי) תהי f : [, ) R ונניח שלכל < < ε קיים וסופי אם ורק אם לכל > מתקיים כי ], f R[, אזי. 2 קיים < B < כך שלכל B <, 2 < מתקיים < ε הגדרה 2.5 תהי, f : [, ) R כך ש [ f R[, לכל. < < נאמר. f < מתכנס בהחלט אם ש f 2 אינטגרלים לא אמיתיים הגדרות הגדרה 2. (קטע אינסופי) תהי f : [, ) R ונניח שלכל < < מתקיים כי [ f. R[, אם קיים הגבול lim אזי הוא נקרא האינטגרל הלא אמיתי של f בקטע (,] ומסומן. אם הגבול קיים וסופי נאמר שהאינטגרל מתכנס. (הגדרה דומה עבור [, )). מתכנס בהחלט, אזי הוא מתכנס. טענה 2.6 אם f מתכנסים ומתבדרים יחדיו. ו g אם < L < האינטגרלים f. f < אם = L אזי < g. g = אם = L אזי = f פונקציות להשוות מולן במידה ומדובר בקטע פתוח [,) (מקרה נפוץ = ) נשווה עם { dx (x ) α = converges, α < diverges, α כאשר x α dx x α = כאשר (x ) α במידה ומדובר בקטע (,] נשווה עם { converges, α > diverges, α טענה 2.9 (השוואה בין אינטגרל לטור) תהי f : [, ) R ונניח ] f R[, מתכנס אם ורק לכל < <. כמו כן נניח f וכן f יורדת. אזי f מתכנס. יתר על כן: n= אם f(n) f(n) n=2 f(n) n= משפט 2. (קריטריון דיריכלה) תהיינה f, g : [, ) R אינטגרביליות על כל תת קטע סגור וסופי. נניח ש f מונוטונית ו g רציפה וכן ( f. C,] אם מתכנס. fg אזי,lim x f(x) חסום וכן = G(x) = x בנוסף g(t) dt משפט 2. (קריטריון אבל) תהיינה f, g : [, ) R אינטגרביליות על כל תת קטע סגור וסופי. נניח ש f מונוטונית ו g רציפה וכן ( f. C,] אם מתכנס. fg מתכנס, אזי בנוסף f חסומה וכן g הגדרה 2.2 (אינטגרל דו סופי) תהי f : R R ונניח כי ] f R[, לכל < < < נגדיר טענה 2.7 תהי f ונניח ] f R[, לכל < < אזי F (x) = x f = f + f קיים (במובן הרחב). האינטגרל מתכנס אם ורק אם חסומה. אם שני האינטגרלים קיימים וסופייים. באופן שקול ניתן לדרוש קיום של הגבול מסקנה 2.8 (השוואה בין פונקציות שומרות סימן) יהיו f g אזי: ˆ N f < g < = lim lim N M M g = f = הגדרה 2.3 (פונקציה לא חסומה) תהי f : (, ] R ונניח כי ] f R[α, המסקנה הנ"ל נכונה גם עבור f g, עבור וסימני אי שוויון הפוכים. לכל, < α < אם קיים הגבול ניסוח גבולי עבור קריטריון ההשוואה נניח ש נקודה בעייתית יחידה עבור,f g x L = lim f אזי g בקטע [,] וקיים lim ε + +ε ˆ אזי הוא נקרא האינטגרל הלא אמיתי של f בקטע [,) ומסומן ב dx. f(x) הערה: במקרה של f חסומה האינטגרל הלא אמיתי קיים ומתכנס אם ורק אם במידה ונגדיר f() = c נקבל כי ].f R[, תכונות בסיסיות נסמן מעתה ב נקודה בעייתית של f, כלומר ± = או קצה קטע פתוח ש f אינה חסומה בו. ניוטון לייבניץ אם f : [, ) R ונניח ש ] f R[, לכל, < < כמו כן נניח f(x) F (x) = לכל ) x [, אזי = lim (F () F ()) = ˆ c (αf(x) + βg(x)) = α + c f(x) + β g(x) אדיטיביות ליניאריות (במידה והגבולות קיימים). מונוטוניות אם f g אזי מתקיים g(x) dx אינטגרציה בחלקים fg = lim [f()g() f()g()] (במידה והגבולות קיימים וכן מתקיימים התנאים על,f g עבור ביצוע אינטגרציה בחלקים) החלפת משתנים נניח כי η) φ : [, ) [c, כאשר φ() = c ו φ וכי < < לכל φ C [, ] כמו כן נניח כי,lim x φ(x) = η עולה. אזי מתקיים: 3 f(φ(t))φ (t) dt = lim ˆ φ() c = ˆ η c f g

lim f n (x) dx = קיים ומתקיים אזי f משפט 3.6 (גזירות) תהי f n : [, ] R סדרת פונקציות גזירות ברציפות. כמו כן נניח כי קיימת ] x [, כך ש ) f n (x מתכנסת. סדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש,.f n g אזי קיימת f כך ש f n f וכן f.lim f n = משפט 3.7 (ווירשטראס על צפיפות הפולינומים ב [ (C[, לכל [ f C[, קיימת סדרת פולינומים ] P n C[, כך ש.P n f מבחנים להתכנסות במ"ש של טורים משפט M) 3.8 בוחן של ווירשטראס) תהי f n : [, ] R סדרת פונקציות ונניח שיש סדרת מספרים M n כך ש. x f n (x) M n אם הטור n= M n מתכנס בהחלט ובמידה שווה. מתכנס אזי הטור =n f n מבחן לייבניץ נתון טור מהצורה (x) (x D) ( ) n n וכן: ב D. x מונוטונית יורדת לכל n (x) ב D. n (x) אזי (x) ( ) n n מתכנס במ"ש. וכן נתון כי: n= מבחן דיריכלה נתון הטור f(x)g(x).d בתחום x יורדת לכל f n (x).d בתחום f n (x). k N x k n= g n(x) M אזי הטור מתכנס במ"ש. בהקשר הזה כדאי להכיר את שתי הזהויות הטריגנומטריות הבאות, העוזרות להוכיח חסימות של cos(nx) sin(nx), : k n= sin(nx) = cos( x 2 ) cos(k+ 2 )x 2 sin( x 2 ) k n= cos(nx) = sin((k+ 2 )x) sin( x 2 ) 2 sin( x 2 ) מבחן אבל נתון כי g(x) מתכנס במ"ש וכן נתון כי (x) f n מונוטונית (או שומרת סימן) וחסומה במידה אחידה, אזי f(x)g(x) מתכנס במ"ש. מבחני התכנסות לטורים עם איברים קבועים מבחן ההשוואה עבור טורים חיוביים n טור חיובי, אם קיים < q < כך ש n < q מבחן השורש יהי =n n לכל n (החל ממקום מסוים) אזי הטור מתכנס. lim אזי טור חיובי, אם < n n מבחן השורש הגבולי יהי =n n הטור מתכנס. טור חיובי: מבחן המנה יהי =n n +n לכל n (החל ממקום מסוים) הטור מתכנס. n אם < q טור חיובי הטור מתבדר n= n יהי n+ n אם טור חיובי: מבחן המנה הגבולי יהי =n n n+ lim sup( הטור מתכנס. n אם < ) n+ lim inf( הטור מתבדר. n אם ) טור חיובי ו n סדרה מונוטונית יורדת מבחן העיבוי של קושי יהי =n n מתכנסים ומתבדרים יחדיו. ו n= 2n 2 n אזי הטורים n= n עלינו הערה 2.2 באופן כללי כאשר אנו בודקים התכנסות של אינטגרל f לבדוק בנפרד עבור כל אחת מהנקודות הבעייתיות של f בקטע [,]. אם למשל,, נקודות בעייתיות אזי נכתוב f = ˆ α f + α ˆ β f + f + עתה יש לבדוק את ההתכנסות של כל אחד מהאינטגרלים הנ"ל בנפרד, כאשר יתכנס על כל אחד מהאינטגרלים להיות קיים וסופי על מנת שהאינטגרל f (כלומר אם גילינו שאחד האינטגרלים לא קיים וסופי אזי אין צורך להמשיך לבדוק). 3 סדרות וטורי פונקציות (כללי) התכנסות נקודתית תהי f n (x) : [, ] R סדרת פונקציות. אזי f n מתכנסת נקודתית ל f בקטע ] [, אם לכל ] x [, מתקיים כי = (x) lim f n.f(x) התכנסות במידה שווה תהי f n : [, ] R סדרת פונקציות. נאמר ש f f n במידה שווה (נסמן ( f n f אם sup f(x) f n (x) x [,] או באופן שקול, אם לכל > ε קיים N כך שלכל n N וכל x מתקיים. f(x) f n (x) < ε תכונות של התכנסות במ"ש אם f n f וכן g n g אזי.g n ± f n g ± f אם f n f וכן g n g וכמו כן סדרות הפונקציות חסומות במידה אחידה, אזי g n f n gf (לא בהכרח נכון ללא החסימות). משפט 3. (קריטריון קושי להתכנסות במ"ש) תהי f n : [, ] R סדרת פונקציות. f n f אם ורק אם לכל > ε קיים N ε כך שלכל n, m > N ε ולכל ] x [, קיים f n (x) f m (x) < ε (או באופן שקול.(sup [,] f n (x) f m (x) < ε משפט 3.2 תהיינה f, f n : [, ] R ונניח כי f n רציפות וכן, f n f אזי f רציפה. משפט 3.3 (דיני) תהיינה f n : [, ] R סדרת פונקציות רציפות, כך ש f n מתכנסת ל f נקודתית. כמו כן נניח כי f n מונוטונית (כסדרה לכל x קבוע), וכן f = lim f n רציפה. אזי במקרה זה מתקיים כי ההתכנסות היא במ"ש,.f n f β f (הערה: חשוב שמדובר בקטע סגור). משפט 3.4 (אינטגרציה) תהיינה f n : [, ] R ונניח כי.f n f נניח גם כי ] f n R[, לכל,n אזי גם ] f R[, ומתקיים lim f n (x) dx = משפט 3.5 (אינטגרלים לא אמיתיים) תהי f n : [, ) R סדרת פונקציות מתכנס. ונניח כי f n מתכנסת ל f נקודתית וכן כי f n אינטגרביליות ו f n אם בנוסף לכך מתקיים גם : 4 וכן n x f n (x) ψ (החל ממקום. [, ] על כל קטע סופי וסגור f n f קיימת ψ כך ש < ψ מסוים).

(C) סכימת צזארו סכום צזארו של טור מוגדר על ידי S + S +.. + S n n = lim n ההיררכיה של שיטות הסכימה : סכימה רגילה סכימת צזארו סכימת אבל. משפט 4.8 (מרטן, כפל של טורים) תהיינה n, n C סדרות מספרים, ונגדיר והטור מתכנס בהחלט, וכן n = A אם.c n := n k= k n k (מכפלת קושי של הטורים) מתכנס. אזי הטור c n n = B בהחלט ומתקיים: c n = AB משפט 4.9 (טאובר) תהי { n } R סדרה המקיימת n.n כמו כן נניח כי: מתכנס לכל <. x הטור nx n.lim x קיים וסופי הגבול nx n = s n = s אזי תחת תנאים אלה מתקיים: כאשר z, k C טורי חזקות מרוכבים k= kz k אם נכתוב, n = u n + iv n אזי טור מספרים מרוכב מתכנס (בהחלט) כאשר מתכנסים (בהחלט). k= u k, שני הטורים k= v k, מתכנס בהחלט אם"ם הטור < n טענה 4. הטור n כאשר ) 2 n. n = Re( n ) 2 + Im( משפט 4. (רדיוס התכנסות של טור חזקות מרוכב) המשפט עובר כלשונו, כלומר אם הטור מתכנס עבור z C כאשר. z = r אזי לכל z המקיים z < r הטור מתכנס בהחלט ובמידה שווה. 5 טורי פוריה מכפלה פנימית נגדיר מכפלה פנימית עבור מרחב פונקציות מחזוריות, אינטגרביליות רימן, על ידי < f, g >:= f(x)g(x) dx.p (x) = N פולינום טריגונומטרי הינו ביטוי מהצורה n= N ne i2πnx מקדמי פורייה עבור f : R C מחזורית ואינטגרבילית רימן, נגדיר את מקדמי פורייה על ידי < P, P >= P (t) 2 dt = N n= N ˆP (n) 2 4 טורי חזקות מתכנס למה 4. (רדיוס ההתכנסות של טור חזקות) אם הטור =n nx n עבור x כלשהוא כך ש r x < אזי לכל r < r הטור מתכנס בהחלט ובמידה שווה בקטע ] r.[ r, משפט 4.2 (אבל) לכל טור חזקות קיים > R כך שבקטע (R,R ) הטור מתכנס ובקבוצה R} {x : x > הטור מתבדר. טור חזקות, אזי משפט 4.3 (קושי הדמרד) יהי nx n R = lim n n טור חזקות עם רדיוס משפט 4.4 (רציפות טור חזקות) יהי =n nx n התכנסות > R אזי סכום הטור S(x) הוא פונקציה רציפה בקטע (R,R ). טור חזקות עם רדיוס משפט 4.5 (אינטגרציה איבר איבר) יהי =n nx n התכנסות >,R אזי: הוא בעל אותו רדיוס x n tn dt = n הטור xn+ n+ התכנסות כמו הטור המקורי. = S(x) אזי לכל x < R מתקיים : אם נסמן nx n. x n tn dt = x S(t)dt אם הטור המקורי מתכנס ב R x) = (R x = אזי גם טור האינטגרלים מתכנס בנקודה זו. טור חזקות עם רדיוס התכנסות משפט 4.6 (גזירה איבר איבר) יהי =n nx n >.R אזי: ( nx n ) = n nx n = הטור n= (n + ) n+x n המתקבל מהטור המקורי על ידי גזירה איבר איבר הוא בעל אותו רדיוס התכנסות כמו הטור המקורי.. לכל x < R מתקיים (x) ( nx n ) = S אם טור הנגזרות מתכנס בנקודה x) = R)x = R אזי גם הטור המקורי מתכנס בנקודה זו והשוויון הנ"ל מתקיים. בעל רדיוס התכנסות R ו חיבור טורי חזקות בהינתן =n nx n בעל רדיוס התכנסות R 2 אזי מתקיים השוויון nx n n x n ± n x n = ( n ± n )x n כאשר הטור הנ"ל מתכנס ברדיוס התכנסות } 2 R = min{r, R במידה ו.R = במידה ו R 2 ולפחות ברדיוס R,R R 2 טור חזקות עם רדיוס משפט 4.7 (משפט הגבול של אבל) יהי =n nx n התכנסות > R. אם הטור מתכנס גם בנקודה x = R אזי סכומו S(x) הוא פונקציה רציפה משמאל בנקודה R. ˆf(n) :=< f, e n >= f(x)e i2πnx dx בעל רדיוס התכנסות = (x) P פולינום טריגונמטרי, סכימה על פי אבל נניח כי נתון טור חזקות =n nx n N הערה: נשים לב שאם n= N ne i2πnx מתכנס, אזי מתקיים, אם הטור n אזי מתקיים Pˆ (n) = n, כמו כן עבור,P Q פולינומים טריגו' מתקיים >= Q.< P, בפרט מתקיים N ˆP n= N (n) ˆQ(n) lim n x n = n x אינו מתכנס, ייתכן כי הגבול אולם גם כאשר הטור =n n x lim קיים וסופי. במקרה זה קוראים לו סכום אבל של nx n ((A) הטור ) n 5

D N (t) = sin[2π(n + 2 )x] sin πx טענה 5.6 טור פורייה המתאים לפונקציה מחזורית f הינו: ˆf(n)e i2πnx n Z F N (t) := N 2 D N(t) dt = 2 טענה 5.7 גרעין פייר N גרעין פייר מוגדר על ידי n(t) =n D תכונות של גרעין פייר F N (t) = sin2 πnt N sin 2 πt δ > δ δ F N (t) dt וכמו כן מתקיים כי טענה = dt F N(t) טענה σ N f(x) := N N s n f = f(t x)f N (x) dx התכנסות לפונקציה משפט 5.8 (משפט פייר) אם C(R) f מחזורית אזי N s n f f N N כאשר ההתכנסות הינה במידה שווה. כמו כן אם בנקודה x מתקיים כי.σ N f(x ) + + 2 lim x x אזי + f(x) = + ו lim x x f(x) = התכנסות נקודתית אם f רציפה ליפשיץ בסביבה של x אזי.s N f(x ) f(x ) משפט 5.9 (התכנסות במ"ש) אם < 2 ˆf(n) n Z וגם C(R) f או.s n f f נקודתית, אזי s N f f מסקנה 5. אם (R) f C אזי.s n f f משפט 5. (התכנסות בנורמה) אם C(R) f מחזורית ואינטגרבילית רימן, אזי f s n f (התכנסות בנורמה של.(L 2 טענה 5.2 (הוכחה בתרגול) הפולינומים הטריגונומטריים צפופים במ"ש ב ],C[, כלומר אם ] C[, f קיימת סדרה P N של פולינומים טריגונומטריים כך ש sup f(x) P n (x) x [,] טענה 5.3 (הוכחה בתרגול) הפולינומים הטריגונומטריים צפופים בנורמה ב [,]R, כלומר לכל [,]R f ( מחזורית), קיימת סדרת פולינומים טריגונומטריים P n כך ש P n f ניתן גם לכתוב טור פורייה באמצעות cos(2πnx),sin(2πnx), כלומר הטור המתאים ל f הינו + [ n cos(2πnx) + n sin(2πnx)] n= כאשר > cos(2πnx). =< f, >, n =< f, sin(2πnx) >, n =< f, הקשר בין ˆf(n) למקדמים הנ"ל נתון על ידי: ˆf(n) = 2 ( n i n ) n > ˆf() = n = ˆf(n) = 2 ( n + i n ) n < S N f := N n= N נגדיר את סכום פורייה החלקי על ידי ˆf(n)e i2πnx < f, S N f >=< S N f, f >=< s N f, s N f >= N n= N למה (הטלה) ˆf(k) 2 k Z ˆf(k) 2 אי שוויון בסל f(t) 2 dt k Z ˆf(k) 2 = שיוויון פרסבל f(t) 2 dt למה 5. (הלמה של רימן לבג) עבור f : R C מחזורית ואינטגרבילית רימן, מתקיים כי ˆf(n) טענה 5.2 אם (R) f C אזי ˆf(n) ˆf (n) = i2πn. מסקנה 5.3 אם (R) f C פונקציה מחזורית, אזי < ˆf(n) n= מסקנה 5.4 (דעיכת מקדמים) אם (R) f C k אזי ) k ˆf(n) = o( n. D N (t) := N k= N e i2πkt גרעין דיריכלה טענה 5.5 עבור f : R C מחזורית ואינטגרבילית מתקיים כי s N f(t) := f(t x)d N (x) dx 6

טענה 6. יהי X מרחב מטרי:. הקבוצות, X תמיד פתוחות (בפרט R n קבוצה פתוחה). 2. איחוד של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה. 3. חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח. טענה 6.2 כדור פתוח (r B(x, הינו תמיד קבוצה פתוחה. קבוצה סגורה A X הינה קבוצה סגורה אם היא מכילה את כל נקודות הגבול שלה. כלומר אם x n A סדרה המקיימת x n x אזי גם.x A טענה 6.3 יהי Xמרחב מטרי:. הקבוצות,X קבוצות סגורות (בפרט R n סגורה) 2. חיתוך של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה. 3. איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה. טענה 6.4 הקבוצות r) S(x, ו ( r B(x, הן תמיד קבוצות סגורות. קונבולוציה משפט A 6.5 קבוצה פתוחה אם ורק אם A c קבוצה סגורה. פנים הפנים של A X הינו הקבוצה (f g)(x) = עבור פונקציות f, g : R C מחזוריות, נגדיר f(t)g(x t) dt תכונות של קונבולציה סימטריה f g = g f g f רציפה תמיד ( f g)(n) = ˆf(n)ĝ(n) 6 מרחבים מטריים פונקצית מרחק (מטריקה) תהי X קבוצה, פונקציה ) [, X,d : X נקראת פונקצית מרחק אם היא מקיימת:.x = y אם ורק אם d(x, y) וכן = d(x, x) = סימטריה x).d(x, y) = d(y, אי שוויון משולש y).d(x, y) d(x, z) + d(z, int(a) := {x A : r s.t B(x, r ) A}. מרחב מטרי הינו קבוצה X עליה מוגדרת פונקציית מרחק d (d,x). נורמה יהי X מרחב וקטורי, אזי : X R, נקראת נורמה אם היא מקיימת: טענה 6.6 הפנים של קבוצה A הינו החיתוך של כל תתי הקבוצות הפתוחות של.A Ā := {x X : x n A x n x} סגור הסגור של A הינו הקבוצה טענה 6.7 הסגור של קבוצה A הינו חיתוך כל הקבוצות הסגורות המכילות את.A קבוצות קומפקטיות קבוצה A X נקראת קבוצה קומפקטית אם לכל סדרה x} n } A יש תת סדרה המתכנסת לאיבר ב A. קבוצה חסומה קבוצה A X נקראת חסומה אם היא מוכלת בכדור כלשהו. ב R n קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. משפט 6.8 (בולצאנו וירשטראס) אם קבוצה A R n היא חסומה (ע"פ הנורמה האוקלידית) לכל סדרה ב A יש תת סדרה מתכנסת. משפט 6.9 (הלמה של קנטור) אם i K קבוצה קומפקטית לכל i כך שמתקיים התנאי: i K i K (לכל > (i וגם y,sup x,y Ki x אזי מתקיים K i = {x} חיוביות x לכל x X וכן = x אם ורק אם =.x הומוגניות λ x λx = (כאשר λ סקלר) אי שוויון משולש y x + y x + אם הינה נורמה על מרחב, X אזי הפונקציה y d(x, y) := x הינה פונקציית מרחק. נורמות במרחב R: n באופן כללי עבור < p ניתן להגדיר נורמה. x p = ( n xp i )/p כמו כן, x = mx{x i } n הינה נורמה.. x 2 = n אי שוויון חשוב שפה של קבוצה A, מסומנת A, מוגדרת על ידי int(a) A. = Ā \ הנורמה האוקלידית הסטנדרטית הינה x2 i עבור הנורמה האוקלידית: נשים לב כי השפה היא קבוצה סגורה, כמו כן x A אם ורק אם קיימת סדרה מ A וסדרה מ A c כך ששתי הסדרות מתכנסות ל x. i n : x i y i x y x i y i מאי שוויון זה נובע שאם y x אזי בפרט בכל קואורדינטה i x i y ולהפך. התכנסות סדרה x n במרחב מטרי X מתכנסת ל X y אם מתקיים (y.d(x n, אם קיים גבול הוא יחיד (נובע מאי שוויון המשולש). סדרת קושי במרחב מטרי הינה סדרה המקיימת שלכל > ε קיים N כך שלכל n, m > N מתקיים.d(x n, x m ) < ε כל סדרה מתכנסת במרחב מטרי הינה סדרת קושי, מרחב מטרי נקרא שלם אם כל סדרת קושי בו מתכנסת ) n R הוא מרחב מטרי שלם). קבוצות פתוחות וסגורות כדור פתוח סביב x X ברדיוס.B(x, r) := {x X : d(x, x ) < r} :r כדור סגור סביב x X ברדיוס.B(x, r) := {x X : d(x, x ) r} :r הספירה סביב x X ברדיוס.S(x, r) := {x X : d(x, x ) = r} :r קבוצה פתוחה A X הינה קבוצה פתוחה אם מתקיים משפט 6. (היינה בורל) A X קבוצה קומפקטית אם ורק אם לכל כיסוי פתוח של A קיים תת כיסוי סופי. 7 x A r s.t B(x, r ) A

7 חשבון דיפרנציאלי של פונקציות בכמה משתנים העתקות לינאריות ) m f L(R n, R.f(x) = n x if(e i ) אזי (R n בסיס של e i ) x = n אם x ie i כידוע העתקה ליניארית מוגדרת ביחידות (עבור בסיס מסוים) על ידי מטריצה.(A) ij = [f(e j )] i כאשר A m n טענה 7. אם ) m A L(R n, R אזי היא רציפה. עקומות ב R n עקומה/מסילה הינה פונקציה רציפה.γ : [, ] R m אם γ() γ() = אזי המסילה נקראת עקום סגור. אם (,) γ חח"ע אזי היא נקראת עקום פשוט. בהינתן שתי מסילות γ : [, ] R m ו γ 2 : [α, β] R m נאמר שהן שקולות אם קיימת העתקה ] φ : [α, β] [, רציפה, חח"ע ועל המקיימת φ(α) = ו,φ(β) = כך שמתקיים (φ(t)) γ 2 (t) = γ (כלומר, שתי המסילות הן בעלות מסלול משותף). קבוצה קשירה מסילתית A R n תקרא קשירה מסילתית אם לכל,x y A קיימת מסילה γ : [, ] A כך ש γ() = x ו y.γ() = קבוצה קמורה A R n תקרא קמורה אם לכל x, y A ולכל < t < מתקיים.(tx + ( t)y) A (הערה: } t [x, y] := {tx + ( t)y : הינו הקטע שמחבר את x ו y ) קבוצה קשירה פוליגונלית קבוצה A R n נקראת קשירה פוליגונלית אם לכל x, y A קיימות נקודות כך שהקטעים y] [x, x ], [x, x 2 ],..., [x m, מוכלים כולם ב A. גזירות ודיפרנציאביליות גזירת עקומות תהי γ :,] [ R m מסילה, נאמר ש γ גזירה ב t אם קיים γ(t + h) γ(t ) lim = γ (t ) h h באופן שקול נרשום ) m,γ = (γ,..., γ אזי γ גזירה אם ורק אם γ i גזירה לכל i ומתקיים γ (t ) = γ (t ). γ m(t ) נגזרות חלקיות תהי f : U R n כאשר U R n קבוצה פתוחה, נגדיר את הנגזרת החלקית לפי x i f f(x+he x i = f xi = lim i ) f(x) h h f(x = lim,..,x i +h,..,x n ) f(x,..,x n ) h h לצורך חישוב בפועל נתייחס לשאר המשתנים כקבועים ונגזור את f כרגיל (במידה וניתן). טענה,f : U R, U R n 7.2 נניח f גזירה חלקית ביחס ל x i לכל i וכי רציפה ב U. f אזי U, חסומות על f x i דיפרנציאביליות תהי f : U R m ו,x U R n אזי f דיפרנציאבילית בנקודה x אם קיימת ) m A L(R n, R כך ש: f(x) = f(x ) + A(x x ) + o x x ( x x ) גבולות ורציפות יהיו d) (X, d), (Y, מרחבים מטריים ו.f : X Y גבול נניח כי x Ā,A X ו,L Y הגדרה על פי קושי נאמר שהגבול של f בנקודה x הינו L אם מתקיים: ε > δ > s.t x B(x, δ) f(x) B(L, ε) הגדרה על פי היינה נאמר שהגבול של f בנקודה x הינו L אם מתקיים: x n A : x n x f(x n ) L כמו בחדוו"א, ההגדרות הנ"ל שקולות. רציפות פונקציה f רציפה בנקודה x אם מתקיים: ε > δ > : x B(x, δ) f(x) B(f(x), ε) x n A : x n x f(x n ) f(x) או באופן שקול אם מתקיים: טענה 6. אם, f : A R m כלומר ) m f = (f,..., f כאשר,f i : A R אזי f רציפה אם ורק אם f i רציפה לכל i. טענה 6.2 (הרכבה של פונקציות רציפות) יהיו (d,x),(d,y),(d,z) מרחבים מטריים ו.g : Y Z,f : X Y אם f רציפה בנקודה x X ו g רציפה בנקודה.f(x ) Y אזי ההרכבה g f הינה פונקציה רציפה בנקודה.x טענה 6.3 (אריתמטיקה של פונקציות רציפות) יהי (d,x) מרחב מטרי ו f, g : X R פונקציות רציפות בנקודה x אזי:.α, β R לכל הינה פונקציה רציפה ב x αf + βg המכפלה f g הינה פונקציה רציפה בנקודה.x היא פונקציה רציפה בנקודה x. f g אם g אזי המנה הערה: הטענה הראשונה נכונה גם עבור f, g : A R m (כאשר,(A R n ובנוסף במקרה זה גם < f(x), g(x) >: R n R הינה פונקציה רציפה. משפט 6.4 (ווירשטראס) אם f : K Y פונקציה רציפה ו K קבוצה קומפקטית, אזי f(k) קבוצה קומפקטית ב Y. מסקנה 6.5 במידה ו R f : K רציפה ו K קומפקטית, אזי f מקבלת מקסימום ומינימום, כלומר קיימים,m M כך ש x A : f(m) f(x) f(m) משפט 6.6 (שקילות נורמות ב R) n כל נורמה על R n שקולה לנורמה האוקלידית 2. x M (נורמות ו נקראות שקולות אם קיים > M כך ש x M x לכל x במרחב) במקרה כזה נאמר ש A D f (x ) = הינו הדיפרנציאל של f בנקודה.x 8 משפט 6.7 (קנטור) פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית, רציפה בה במ"ש.

R 3 (h) = 3! i,j,k= כאשר קיימת נקודה (,) θ כך ש f xi x j x k (x o + θh)h i h j h k = o( h 3 ) M = sup x [x,x+h] {f xi x j x k נשים לב כי אם נסמן ב n} (x) : i, j, k אזי נקבל כי R 3 (h) n3 6 M h 3 (אם מסתפקים בהגדרת R 3 באמצעות ) 3 o( h מספיק לדרוש דיפרנציאביליות ברציפות מסדר 2). או בניסוח שקול f(x + h) = f(x )+ < f(x ), h > + 2 < 2 f(x )h, h > +R 3 (h) כאשר ) 2 f(x הינה מטריצה n n שנקראת Hessin המקיימת.[ 2 f(x )] ij = f xi x j (x ) סדר r: אם נניח כי f הינה +r C אזי מתקיים f(x +h) = f(x )+ r k= k! i,..,i k n f xi f xi2..f xik (x )h i..h ik +R r+ כאשר +r R מוגדר באופן דומה ל R. 3 מסקנה 7.2 אם f : U R הינה C 2 אזי לכל x U ו h R n כך ש U,[x, x + h] קיימת ) (, θ כך ש f(x + h) = f(x )+ < f(x ), h > + 2 < 2 f(x + θh)h, h > טענה 7.3 אם f דיפרנציאבילית בנקודה x אזי לכל i קיימת הנגזרת החלקית וכן מתקיים: f x i = D f (x )e i f x i טענה 7.4 אם f דיפרנציאבילית קיימת הנגזרת הכיוונית בכל כיוון û המוגדרת f(x. û כאשר = lim +hû) f(x ) h h על ידי טענה 7.5 מספר טענות אודות הדיפרנציאל D: f אם f c אזי f D אם f D בתחום U (פתוח וקשיר פוליגונלית) אז.f c אם f(x) = Ax העתקה לינארית, אזי D f (x) = A D f+g = D f + D g אם D f = A לכל x אזי.f(x) = Ax + c טענה 7.6 אם f דיפרנציאבילית ב x אזי f רציפה ב x. דיפרנציאביליות ברציפות נאמר ש ( f C (U, R m אם מתקיים כי U f : רציפה ב U. x D f (x) וההעתקה x U דיפרנציאבילית בכל R m משפט f 7.7 דיפרנצאיבילית ברציפות אם ורק אם כל הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות. f : U V ו, V R m, U R n משפט 7.8 (כלל השרשרת) יהיו.g : V R k נניח כי f דיפרנציאבילית ב U x ו g דיפרנציאבילית ב (,y = f(x אזי φ = g f : U R k דיפרנציאבלית ב x ומתקיים D φ (x ) = D g (f(x ))D f (x ) נקודות קיצון פונקציה f : U ו R פתוחה קבוצה U R n טענה 7.3 תהי x, נניח כי ל f יש נקודת אקסטרמום מקומית ב U דיפרנציאבילית. אזי = ). f(x נקודה קריטית תהי f : U R פונקציה דיפרנציאבילית, נקודה x U נקראת נקודה קריטית אם = ). f(x משפט 7.9 (לגרנז') תהי U R n קבוצה פתוחה ו f : U R m דיפרנציאבילית ב U. אם x, y U שתי נקודות כך ש [x, y] U, אזי קיימת נקודה [y z,x] כך שמתקיים f(y) f(x) =< f(z), y x > משפט 7.4 (מיון נקודות סטציונריות) תהי U R n קבוצה פתוחה, ו f : U R פונקציה.C 2 תהי x U נקודה קריטית:. אם > ) 2 f(x (מטריצת ההסיאן מוגדרת חיובית) אזי x נקודת מינימום מקומית.2 אם < ) 2 f(x אזי x נקודת מקסימום מקומית. 3. אם ) 2 f(x אינה מוגדרת חיובית או שלילית אזי x נקודת אוכף. מסקנה 7.5 במקרה ו U R 2 פתוחה, f : U R 2 פונקציה C 2 ו U x נקודה קריטית אזי: U R n קבוצה נגזרות גבוהות ומשפט טיילור משפט 7. (נגזרות מעורבות) תהי f : U R כאשר פתוחה, נניח כי עבור i j n כלשהם קיים:. הנגזרות f xi, f xj קיימות ורציפות ב.U קיימת ורציפה ב U. f xi x j 2. הנגזרת המעורבת. f xj x i =f xi x j f xj x i בכל U ו אזי קיימת הנגזרת (הערה: בעקרון מדובר בתנאי מקומי, לכן מספיק לדרוש קיום של הנגזרות בסביבה של x ורציפות ב x). אם בנקודה x מתקיים f xx f yy > f 2 xy וכן > xx x, f נקודת מינימום מקומית..2 אם בנקודה x מתקיים f xx f yy > f 2 xy וכן < xx x,f נקודת מקסימום מקומית..3 אם בנקודה x מתקיים x,f xx f yy < f 2 xy נקודת אוכף. 9 משפט 7. (טיילור) סדר :2 נניח כי f : U R הינה x U, C 3 ו h R n כך ש U [x, x + h] אזי מתקיים f(x + h) = f(x ) + f xi (x )h i + 2 f xi f xj (x )h i h j + R 3 (h) i,j=